Terminale - Spé Maths - Exercices Corrigés: Limites d'une Suite

Maîtriser les Limites de Suites : 3 Exercices Progressifs avec Astuces

Les limites de suites sont un incontournable du programme de terminale spécialité maths. Comprendre comment une suite évolue vers une valeur précise (ou tend vers l’infini) est fondamental pour réussir en analyse. 🔢

Dans cet article, nous vous proposons trois exercices de difficulté croissante pour vous entraîner, avec méthode et astuces. À vous de jouer ! 🎯

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📌 Exercice 1 : Niveau facile

Déterminer la limite de la suite suivante :

$$u_n = \frac{3n + 5}{2n + 1}$$

Méthode 🛠

✅ Diviser numérateur et dénominateur par le terme de plus haut degré.
✅ Simplifier l’expression pour observer le comportement de la suite quand $n \to +\infty$.

Astuces 💡

• Les termes en $\frac{1}{n}$ tendent vers 0 lorsque $n \to +\infty$.
• Se focaliser sur les termes dominants permet d’éviter les erreurs de calcul.

🔍 À vous de jouer ! Trouvez la limite de cette suite avant de vérifier la solution en fin d’article. 👇

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📌 Exercice 2 : Niveau moyen

On considère la suite définie par récurrence :

$$u_0 = 1, \quad u_{n+1} = \frac{u_n + 2}{2}$$

Montrer que $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.

Méthode 🛠

✅ Vérifier que la suite est monotone (croissante ou décroissante) et bornée.
✅ Poser $\ell = \lim u_n$ et passer à la limite dans la relation de récurrence.
✅ Résoudre l’équation obtenue pour trouver la limite.

Astuces 💡

• Une suite croissante et majorée converge toujours.
• Passer à la limite dans l’équation de récurrence est une technique clé.

💭 Vous avez une idée de la limite ? Notez-la et comparez avec la correction plus bas. 👇

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📌 Exercice 3 : Niveau difficile

On considère la suite définie par :

$$u_n = n \left( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \right)$$

1. Montrer que cette suite admet une limite.
2. Déterminer cette limite.

Méthode 🛠

✅ Utiliser l’astuce du conjugué pour éliminer la racine :

$$\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$$

✅ Simplifier l’expression obtenue et observer la tendance pour $n \to +\infty$.

Astuces 💡

• Le produit par $n$ semble rendre la suite infinie… mais une simplification astucieuse révèle la vraie tendance.
• En factorisant, on obtient une forme simple permettant de lire la limite immédiatement.

🤔 Un vrai casse-tête ! Trouvez la réponse et comparez avec la correction. 👇

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📝 Réponses aux exercices

1️⃣ Exercice 1 :

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{3n + 5}{2n + 1} = \frac{3}{2}$$

2️⃣ Exercice 2 :
En posant $\ell = \lim u_n$, on résout :

$$\ell = \frac{\ell + 2}{2}$$ $$2\ell = \ell + 2 \Rightarrow \ell = 2$$

Donc, $\lim u_n = 2$.

3️⃣ Exercice 3 :
En multipliant par le conjugué :

$$u_n = n \times \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$$ $$= n \times \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$$

En divisant par $\sqrt{n}$, on obtient :

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{1}{2}$$

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🎯 Bravo à vous si vous avez trouvé les bonnes réponses ! Ces exercices sont parfaits pour maîtriser les techniques essentielles sur les limites de suites en vue du Bac.

📢 Et vous ? Quel exercice vous a semblé le plus difficile ? Dites-le-nous en commentaire ! 📩

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👉 Envie de plus d’exercices corrigés ? Consultez notre rubrique Maths Terminale Spécialité et entraînez-vous avec nos fiches de révisions complètes. 🚀💡

Bonus

🟠 Grand Oral : Des Sujets sur les Limites de Suites 🎤

🔎 Envie d’un sujet percutant pour le Grand Oral ? Voici 5 propositions intégrant les limites de suites avec différentes disciplines !

1️⃣ Sujet 100% Maths 🧮

Comment les limites de suites permettent-elles de comprendre la notion d’infini en mathématiques ?
📌 Angle d’attaque : Étude des différentes limites (fines et infinies), lien avec les séries et applications en analyse.

2️⃣ Sujet Maths & SES 📈

Peut-on modéliser l’évolution d’un marché économique avec les limites de suites ?
📌 Angle d’attaque : Suites récurrentes et modèles économiques (ex : évolution du PIB, de l’inflation, des taux d’intérêt).

3️⃣ Sujet Maths & NSI 💻

Comment les limites de suites sont-elles utilisées dans l’optimisation des algorithmes ?
📌 Angle d’attaque : Convergence des algorithmes d’apprentissage automatique, méthode de Newton et optimisation numérique.

4️⃣ Sujet Maths & SVT 🧬

Les limites de suites peuvent-elles modéliser la croissance d’une population ?
📌 Angle d’attaque : Suites logistiques, modèle de Malthus vs modèle de Verhulst et applications en écologie.

5️⃣ Sujet Maths & Physique-Chimie ⚛️

Pourquoi les limites de suites sont-elles essentielles en thermodynamique et en cinétique chimique ?
📌 Angle d’attaque : Vitesse de réaction, évolution des concentrations chimiques, notion d’état stationnaire.