Spé Maths - Equations Différentielles - Exos Corrigés

4 exercices faciles pour maîtriser les bases des équations différentielles en Terminale

Le chapitre sur les équations différentielles en Terminale peut sembler intimidant au début. Pourtant, il repose sur des bases simples et puissantes. Voici 4 exercices progressifs pour t'entraîner efficacement, accompagnés d'une petite astuce à chaque fois pour t'aider à démarrer... et les solutions complètes à la fin !

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Exercice 1 : Premier contact avec une équation exponentielle

Résous l’équation différentielle suivante :
$y'(x) = -3y(x)$

Astuce : C'est une équation très classique de type $y' = ay$. Pense à la fonction exponentielle !

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Exercice 2 : Une condition initiale à respecter

Résous l’équation $y'(x) = 2y(x)$ avec la condition initiale $y(0) = 5$.

Astuce : Tu connais déjà la solution générale. Utilise la condition pour trouver la constante.

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Exercice 3 : Un terme constant dans l’équation

Résous l’équation $y'(x) = -2y(x) + 4$

Astuce : Trouve d'abord la solution de l'équation homogène associée (sans le 4), puis cherche une solution particulière.

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Exercice 4 : L’exercice complet

Résous l’équation $y'(x) = 3y(x) - 6$ avec $y(0) = 1$

Astuce : Combine les deux techniques : homogène + solution particulière + condition initiale.

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🖊️ Solutions commentées

Exercice 1

C'est une équation différentielle de la forme $y' = ay$, avec $a = -3$.
La solution générale est : $y(x) = Ce^{-3x}$

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Exercice 2

Même type que le précédent, avec $a = 2$.
Solution générale : $y(x) = Ce^{2x}$
Condition initiale : $y(0) = 5 \Rightarrow C = 5$
Donc $y(x) = 5e^{2x}$

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Exercice 3

On commence par l'équation homogène : $y' = -2y \Rightarrow y_h(x) = Ce^{-2x}$
On cherche une solution particulière constante : essayons $y = k$.
$y' = 0 \Rightarrow -2k + 4 = 0 \Rightarrow k = 2$
Solution générale : $y(x) = Ce^{-2x} + 2$

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Exercice 4

Équation homogène : $y' = 3y \Rightarrow y_h(x) = Ce^{3x}$
Solution particulière : $y = k \Rightarrow 3k - 6 = 0 \Rightarrow k = 2$
Donc solution générale : $y(x) = Ce^{3x} + 2$
Condition : $y(0) = 1 \Rightarrow C + 2 = 1 \Rightarrow C = -1$
Solution finale : $y(x) = -e^{3x} + 2$

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✅ En résumé : les 3 types de base à maîtriser

Type d'équation	Solution générale
$y' = ay$	$y(x) = Ce^{ax}$
$y' = ay + b$	$y(x) = Ce^{ax} + \frac{b}{a}$ (si $a \neq 0$)
Avec $y(x_0) = y_0$	Trouver $C$ à partir de cette condition