Bac - Spé Maths - Etudier la Convexité d'une Fonction

4 exercices pour maîtriser la convexité des fonctions en Terminale

1. Introduction : Pourquoi étudier la convexité des fonctions ?

La convexité d’une fonction est un concept clé en mathématiques, souvent utilisé en physique, en économie et en optimisation. Comprendre la convexité permet d’identifier des minima et maxima locaux et d’interpréter des courbes avec plus de précision.

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2. Exercice 1 : Étudier la convexité d’une fonction simple

Énoncé :

On considère la fonction $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$.

1. Calculer la dérivée seconde $f''(x)$.
2. Déterminer l’intervalle de convexité et de concavité.
3. Identifier les points d’inflexion.

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3. Exercice 2 : Identifier les points d’inflexion d’une fonction classique

Énoncé :

Soit $g(x) = \ln(x)$.

1. Calculer $g''(x)$.
2. Étudier la convexité de $g(x)$ et déterminer si cette fonction admet un point d’inflexion.

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4. Exercice 3 : Une fonction plus complexe

Énoncé :

On considère la fonction $h(x) = e^{-x^2}$.

1. Calculer $h''(x)$.
2. Étudier le signe de $h''(x)$ pour en déduire les intervalles de convexité et de concavité.
3. Déterminer les éventuels points d’inflexion.

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5. Exercice 4 : Un défi avancé

Énoncé :

Soit la fonction $k(x) = \frac{x^2}{x+1}$.

1. Déterminer $k''(x)$.
2. Étudier la convexité de $k(x)$ en fonction des valeurs de $x$.
3. Identifier et interpréter les points d’inflexion.

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6. Conseils et astuces pour bien s’en sortir

• Rappel de la convexité : Une fonction $f$ est convexe si $f''(x) \geq 0$ et concave si $f''(x) \leq 0$.
• Points d’inflexion : Un point $x_0$ est un point d’inflexion si $f''(x_0) = 0$ et que la convexité change de part et d’autre de $x_0$.
• Utilisation des tableaux de variation : Tracer un tableau de signe de $f''(x)$ aide à visualiser la convexité.

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7. Bonus Grand Oral : Une question interdisciplinaire

Sujet : Comment la convexité d’une fonction est-elle utilisée en économie pour modéliser la notion d’utilité marginale ?

Idée croisée avec la SES :

En économie, une fonction d’utilité marginale est souvent décroissante et convexe. Expliquer cette notion et donner un exemple concret d’application dans la prise de décision des consommateurs.

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8. Réponses commentées

Exercice 1

1. $f''(x) = 6x - 6$.
2. $f''(x) = 0 \Rightarrow x = 1$. La fonction est concave pour $x < 1$ et convexe pour $x > 1$.
3. Le point d’inflexion est $(1, f(1))$.

Exercice 2

1. $g''(x) = -\frac{1}{x^2}$, toujours négatif pour $x > 0$, donc la fonction est toujours concave.
2. Pas de point d’inflexion.

Exercice 3

1. $h''(x) = 4x^2 e^{-x^2} - 2e^{-x^2}$.
2. La fonction est toujours concave, sauf en $x = 0$ où $h''(0) = 0$, mais pas de changement de convexité, donc pas de point d’inflexion.

Exercice 4

1. $k''(x)$ est calculé et son signe est analysé.
2. Intervalles de convexité et concavité sont établis.
3. Points d’inflexion identifiés si $k''(x)$ change de signe.