Bac - Spé Bac - Limites d'une suite - Cours et exercices Corrigés

Comprendre la Limite d’une Suite en Terminale Spécialité Maths : Cours et Exercices

La notion de limite d’une suite est un concept fondamental du programme de terminale spécialité mathématiques. Elle permet d’analyser le comportement des suites numériques à l’infini et d’anticiper leur évolution. Dans cet article, nous allons voir :

✅ Les définitions essentielles
✅ Les techniques pour déterminer une limite
✅ Des exemples et exercices types

1. Définition et Notions Clés

Une suite est une fonction qui associe à chaque entier naturel $n$ un réel $u_n$. On s’intéresse à son comportement quand $n$ tend vers l’infini :

• Si la suite se stabilise autour d’une valeur finie $l$, on dit qu’elle converge vers $l$.
• Si elle tend vers $+\infty$ ou $-\infty$, on dit qu’elle diverge.

📌 Notation :

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = l$$

signifie que la suite $u_n$ se rapproche de $l$ aussi près que l’on veut lorsque $n$ devient très grand.

2. Techniques pour Déterminer la Limite d’une Suite

Voici les méthodes principales pour étudier la limite d’une suite :

Méthode 1 : Étudier l’expression analytique de $u_n$

• Si $u_n$ est une fraction, on simplifie en mettant au dénominateur le terme de plus haut degré.
• Si $u_n = a_n + b_n$ et que les limites de $a_n$ et $b_n$ existent, alors : $$\lim (a_n+b_n)=\lim a_n+\lim b_n$$
• Si $u_n$ est une suite géométrique $u_n = q^n$ :
  • Si $|q| < 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$
  • Si $|q| > 1$, la suite tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ selon le signe de $q$.

Méthode 2 : Utiliser les croissances comparées

• On compare $u_n$ avec des fonctions de référence (exponentielle, logarithme, polynôme).
• Exemple : $$n^2 \ll 2^n$$ signifie que l’exponentielle domine tous les polynômes à l’infini.

Méthode 3 : Raisonner par encadrement (Théorème des Gendarmes)

Si on peut encadrer $u_n$ entre deux suites ayant la même limite, alors $u_n$ a la même limite.

$$v_n \leq u_n \leq w_n \quad \text{avec} \quad \lim v_n = \lim w_n = l \Rightarrow \lim u_n = l$$

3. Exemples d’Applications

Exemple 1 : Étude d’une suite géométrique

Déterminer la limite de $u_n = 0.8^n$.
✍️ Solution :
Comme $0 < 0.8 < 1$, on sait que $\lim_{n \to +\infty} 0.8^n = 0$.

Exemple 2 : Fraction rationnelle

Déterminer la limite de :

$$u_n = \frac{3n^2 + 2n + 1}{5n^2 + n}$$

✍️ Solution :
On divise par $n^2$, le plus haut degré du dénominateur :

$$u_n = \frac{3 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{5 + \frac{1}{n}}$$

Quand $n \to +\infty$, les termes en $\frac{1}{n}$ et $\frac{1}{n^2}$ tendent vers 0, donc :

$$\lim u_n = \frac{3}{5}$$

4. Exercices pour s’entraîner

💡 Exercice 1 : Déterminer la limite des suites suivantes :
a) $u_n = \frac{n + 2}{2n + 1}$
b) $u_n = 3^n \times \frac{1}{2^n}$
c) $u_n = \ln(n) - \sqrt{n}$

💡 Exercice 2 (Théorème des Gendarmes) :
Montrer que la suite définie par :

$$u_n = \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1}}$$

converge vers 1.

5. À Retenir

✅ Une suite peut converger vers un réel $l$ ou diverger vers $+\infty$ ou $-\infty$.
✅ Les techniques principales : simplifications algébriques, croissances comparées, théorème des gendarmes.
✅ Les suites géométriques sont très utiles à étudier.
✅ Toujours diviser par le terme de plus haut degré pour simplifier l’étude d’une limite.

---

🚀 Envie d’aller plus loin ? Travaille avec des annales corrigées pour bien comprendre la méthodologie des exercices de limite d’une suite en terminale !