Terminale - Spé Maths - Suites - Récurrence

📚 3 exercices faciles sur les suites et la récurrence en terminale spécialité mathématiques 🧠✨

Les suites et la récurrence font partie des notions essentielles du programme de spécialité mathématiques en terminale. Que ce soit pour comprendre une croissance exponentielle ou pour démontrer des propriétés, ces outils mathématiques sont incontournables. 🔥

Aujourd’hui, nous vous proposons 3 exercices faciles pour bien démarrer sur ce thème. 💡 Chaque exercice est accompagné de conseils et astuces pour vous aider à progresser efficacement.

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✨ Exercice 1 : Calcul d’une suite définie par récurrence

On considère la suite $(u_n)$ définie par :

$$u_0 = 2, \quad u_{n+1} = 3u_n + 1$$

1. Calculer les trois premiers termes de la suite.
2. Conjecturer le comportement de la suite lorsque $n$ devient grand.

🚀 Astuces :

• Faites attention aux premiers calculs, une erreur de signe peut fausser toute votre conjecture ! 👀
• Observez la croissance : la suite semble-t-elle tendre vers un certain nombre ou croît-elle à l’infini ?

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🎯 Exercice 2 : Démonstration par récurrence

On définit une suite $(v_n)$ par :

$$v_n = 2^n + 3^n$$

Montrer par récurrence que, pour tout $n \geq 0$ :

$$v_n \text{ est divisible par } 5.$$

🔥 Astuces :

• Étape d'initialisation : Vérifiez bien que la propriété est vraie pour $n = 0$.
• Hérédité : Supposons que $v_k$ est divisible par 5 et montrons que cela reste vrai pour $v_{k+1}$.
• Pensez à exploiter les puissances de 2 et 3 modulo 5, cela simplifiera vos calculs ! 😉

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🏆 Exercice 3 : Suite arithmético-géométrique

On considère la suite $(w_n)$ définie par :

$$w_0 = 1, \quad w_{n+1} = \frac{1}{2} w_n + 3$$

1. Calculer les trois premiers termes de la suite.
2. Conjecturer le comportement de $(w_n)$.
3. Montrer que la suite est convergente et déterminer sa limite $l$.

🎓 Astuces :

• Identifiez si la suite est croissante ou décroissante.
• Trouvez une limite éventuelle $l$ en supposant que la suite converge.
• Pour prouver la convergence, utilisez la méthode des suites monotones et bornées !

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✅ Résultats des exercices

📝 Exercice 1 :

Les trois premiers termes sont :

$$u_0 = 2, \quad u_1 = 3(2) + 1 = 7, \quad u_2 = 3(7) + 1 = 22$$

La suite croit très vite, elle tend vers $+\infty$.

📝 Exercice 2 :

On montre que $v_n$ est bien divisible par 5 en utilisant la récurrence et la propriété :

$$2^{k+1} + 3^{k+1} = 2 \cdot 2^k + 3 \cdot 3^k$$

On montre alors que $v_{k+1} \equiv 0 \mod 5$, donc la propriété est vraie pour tout $n$. ✅

📝 Exercice 3 :

Les premiers termes sont :

$$w_0 = 1, \quad w_1 = \frac{1}{2} (1) + 3 = 3.5, \quad w_2 = \frac{1}{2} (3.5) + 3 = 4.75$$

La suite est croissante et converge vers $l = 6$, solution de :

$$l = \frac{1}{2} l + 3 \Rightarrow l = 6.$$

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🎯 Conseils généraux pour progresser 🚀

1. Toujours tester avec les premiers termes pour détecter un motif ou une conjecture.
2. Structurer vos démonstrations par récurrence : base, hypothèse de récurrence, hérédité.
3. Ne pas hésiter à utiliser un tableur ou un logiciel pour voir la tendance d’une suite.
4. Maîtriser les formules des suites géométriques et arithmétiques pour aller plus vite.
5. S’entraîner régulièrement ! 📅

Avec ces exercices, vous avez un bon aperçu des techniques de base sur les suites et la récurrence. 🔥 Alors, prêts à affronter les sujets du bac avec confiance ? 💪🎓

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