Tle - Spe Maths - Déterminer les limites d'une Somme, Produit... de Suite

🧮 3 Exercices Faciles sur les Limites de Suites en Terminale 🏆

Dans cet article, nous allons explorer trois exercices accessibles mais essentiels pour bien comprendre la notion de limite de suites. 📈 C'est une thématique incontournable du programme de mathématiques en terminale et un sujet fréquemment abordé en bac. Alors, prêts à maîtriser ces concepts avec des astuces et des conseils pratiques ? C'est parti ! 🚀

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📌 Exercice 1 : Limite d'une somme de suites

Considérons deux suites définies par :

$$u_n = \frac{2n+3}{n+1}, \quad v_n = \frac{n-2}{n+1}$$

Question : Déterminer la limite de la suite $w_n = u_n + v_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

✅ Astuces pour bien raisonner :

1️⃣ Identifier les limites des suites $u_n$ et $v_n$ séparément.
2️⃣ Utiliser la propriété de la somme des limites :

$$\lim (u_n + v_n) = \lim u_n + \lim v_n$$

3️⃣ Simplifier les fractions en divisant le numérateur et le dénominateur par $n$, le terme dominant.

Résolution :

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{2 + \frac{3}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{2+0}{1+0} = 2$$ $$\lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{1 - \frac{2}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{1+0}{1+0} = 1$$ $$\Rightarrow \lim_{n \to +\infty} w_n = 2 + 1 = 3$$

🔹 Conclusion : La suite $w_n$ tend vers 3 lorsque $n \to +\infty$. 🎯

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📌 Exercice 2 : Limite d'un produit de suites

On considère les suites :

$$x_n = \frac{1}{n}, \quad y_n = 2n+5$$

Déterminer la limite de $z_n = x_n \times y_n$ quand $n \to +\infty$.

✅ Astuces pour éviter les erreurs :

1️⃣ Identifier la limite de chaque suite séparément.
2️⃣ Appliquer la règle du produit des limites :

$$\lim (x_n \times y_n) = \lim x_n \times \lim y_n$$

(si les deux limites existent)
3️⃣ Vérifier si l’un des termes tend vers 0 pour conclure.

Résolution :

$$\lim_{n \to +\infty} x_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$$ $$\lim_{n \to +\infty} y_n = \lim_{n \to +\infty} (2n+5) = +\infty$$

Comme 0 × $+\infty$ est une forme indéterminée, transformons l'expression :

$$z_n = \frac{2n+5}{n} = 2 + \frac{5}{n}$$ $$\lim_{n \to +\infty} z_n = 2 + 0 = 2$$

🔹 Conclusion : La suite $z_n$ tend vers 2 lorsque $n \to +\infty$. ✅

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📌 Exercice 3 : Étudier la limite d'une suite définie par récurrence

Soit la suite définie par :

$$a_0 = 1, \quad a_{n+1} = \frac{a_n + 3}{2}$$

Montrer que cette suite converge et déterminer sa limite. 🔍

✅ Astuces pour réussir cet exercice :

1️⃣ Vérifier si la suite est monotone (croissante ou décroissante).
2️⃣ Vérifier si la suite est bornée.
3️⃣ Trouver le point fixe $l$, c'est-à-dire la valeur qui satisfait l'équation :

$$l = \frac{l + 3}{2}$$

Résolution :

✅ Montrons que la suite est croissante :
Supposons $a_n \leq 3$, alors :

$$a_{n+1} = \frac{a_n + 3}{2} \leq \frac{3 + 3}{2} = 3$$

Donc $a_n$ est bornée.

✅ Cherchons la limite $l$ :

$$l = \frac{l + 3}{2}$$ $$2l = l + 3$$ $$l = 3$$

🔹 Conclusion : La suite $(a_n)$ est croissante et bornée, donc elle converge vers 3. 🎯

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🌟 Récapitulatif des résultats

🔢 Exercices	🌍 Résultat
Limite d’une somme de suites	$3$
Limite d’un produit de suites	$2$
Limite d’une suite récurrente	$3$

🎯 Conseils finaux pour réussir en maths :
✅ Toujours identifier la forme de la limite : quotient, produit, somme, récurrence...
✅ Appliquer les règles de base et simplifier les expressions.
✅ Vérifier si l’on obtient une forme indéterminée pour trouver une solution alternative.
✅ S’entraîner sur plusieurs exercices pour gagner en rapidité et en précision. 💪🔥

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🔔 À toi de jouer ! Essaie ces exercices et partage tes solutions en commentaire. 📢 Et si tu veux d'autres exercices corrigés, n’hésite pas à demander ! 🚀

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