Terminale - Spé Maths - Dénombrement - Exo corrigé (facile)
Dénombrement en Maths Spé Terminale : Exercice, Méthode et Astuces
Introduction : Pourquoi cet exercice est important ?
Le dénombrement est une notion essentielle en mathématiques, notamment en algèbre et en probabilités. Il permet de compter efficacement le nombre d'éléments dans un ensemble sans avoir à les énumérer un à un.
Dans cet article, nous allons explorer un exercice classique de terminale spé maths, en détaillant la méthode de résolution, les astuces pour éviter les pièges, et la relation avec le programme officiel.
Exercice : Compter les entiers naturels avec une contrainte
🔍 Enoncé :
Déterminer le nombre d'entiers naturels inférieurs à 199 dont l'écriture décimale comporte le chiffre 0.
🎓 Objectif de l'exercice :
Cet exercice vise à appliquer la réunion d'ensembles et le principe d'inclusion-exclusion pour dénombrer efficacement.
Méthode de résolution pas à pas
🔍 1. Identifier les ensembles à compter
Nous devons trouver les entiers de 0 à 199 contenant au moins un "0".
Nous allons utiliser la stratégie suivante :
- Compter tous les nombres de 0 à 199 (200 nombres en tout).
- Compter les nombres sans le chiffre 0.
- Utiliser la complémentarité pour obtenir ceux qui contiennent au moins un "0".
📈 2. Dénombrer les nombres sans le chiffre 0
- Un nombre de 1 à 199 a trois chiffres au maximum.
- Le premier chiffre (centaine) peut être 1 ou 2 (2 choix).
- Le deuxième chiffre (dizaine) peut être 1 à 9 (9 choix).
- Le troisième chiffre (unité) peut être 1 à 9 (9 choix).
🔍 Total des nombres sans 0 :
Si on compte de 1 à 199 :
🔄 3. Appliquer la complémentarité
Le nombre de nombres contenant au moins un "0" est donc :
Astuces et éviter les erreurs courantes
🔎 1. Ne pas compter deux fois le même ensemble
- Si on utilise l'inclusion-exclusion, bien vérifier les chevauchements.
📊 2. Structurer son raisonnement
- Utiliser des tableaux ou schémas pour visualiser les cas.
- Toujours tester la méthode sur un petit ensemble avant de l'appliquer en grand.
🌟 3. Penser à la complémentarité
- Il est parfois plus simple de compter ce qui ne nous intéresse pas, puis de soustraire.
Lien avec le programme officiel
📚 Ce chapitre est essentiel pour :
- La réunion et l'intersection d'ensembles.
- Le dénombrement et la combinatoire.
- Les probabilités (application directe dans le calcul de probabilités d'événements complexes).
📈 Utilisation en problèmes concrets et pour le Grand Oral
Ce type de question peut être directement posée au Grand Oral du Bac en spé maths ou en lien avec d'autres disciplines. Par exemple :
- Applications en informatique : analyse d'algorithmes et programmation (génération de codes sans certains chiffres).
- En cryptographie : choix de mots de passe robustes basés sur des règles de dénombrement.
- En économie et big data : évaluation de la taille des bases de données en fonction des critères de filtrage.
- En probabilités croisées avec la physique ou la SVT : estimation du nombre de combinaisons possibles dans des expériences biologiques (ex : ADN, mutations).
- Lien avec l'intelligence artificielle : estimation du nombre de combinaisons dans un modèle de machine learning.
Ce sont des angles d'analyse que vous pouvez explorer pour un sujet de Grand Oral en terminale !
🎨 Conclusion et Challenge pour vous
Ce type d'exercice est une base essentielle pour comprendre le dénombrement et l'analyse combinatoire. Pour vérifier votre maîtrise, répondez à cette question :
Combien y a-t-il d'entiers entre 1 et 999 contenant au moins un "0" ?
Répondez en commentaire et comparez vos méthodes ! 💡🎉
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