Spé Maths - Résoudre une Équation Différentielle - Exo Faciles

📘 Spé Maths Terminale : 3 Exercices Faciles pour Résoudre une Équation Différentielle

Les équations différentielles sont un incontournable du programme de spécialité mathématiques en terminale. Elles interviennent dans de nombreux domaines : physique, biologie, finance… et peuvent sembler intimidantes au premier abord. Mais pas de panique ! Voici trois exercices accessibles pour s'entraîner en douceur à la résolution d'équations différentielles, avec astuces et conseils à chaque étape. 🚀

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🏆 Exercice 1 : Équation différentielle du premier ordre à variables séparables

Énoncé :
Résoudre l’équation différentielle suivante :

$$\frac{dy}{dx} = x y$$

avec la condition initiale $y(0) = 2$.

✅ Astuce :

1. Identifier la structure : ici, il s'agit d’une équation à variables séparables (on peut isoler $x$ et $y$).
2. Séparer les variables : réécrivons l’équation sous la forme : $$\frac{dy}{y} = x dx$$
3. Intégrer des deux côtés : $$\int \frac{dy}{y} = \int x dx$$
4. Appliquer la condition initiale pour déterminer la constante.

🎯 Solution :

L'intégration donne :

$$\ln |y| = \frac{x^2}{2} + C$$

On exponentie :

$$y = e^C e^{x^2/2} = C' e^{x^2/2}$$

Avec $y(0) = 2$, on trouve $C' = 2$.
Donc, la solution finale est :

$$y = 2 e^{x^2/2}$$

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🎯 Exercice 2 : Équation différentielle linéaire homogène

Énoncé :
Résoudre l’équation différentielle :

$$y' - 3y = 0$$

✅ Astuce :

1. Repérer une équation différentielle linéaire homogène : de la forme $y' + a y = 0$.
2. Solution générale : utiliser la forme standard $y = C e^{ax}$.
3. Vérifier la cohérence : on dérive et on vérifie que l’équation est bien satisfaite.

🎯 Solution :

L’équation est de la forme :

$$y' + (-3)y = 0$$

La solution générale est :

$$y = C e^{3x}$$

$C$ étant une constante quelconque.

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🚀 Exercice 3 : Équation différentielle linéaire non homogène

Énoncé :
Trouver la solution générale de :

$$y' + 2y = e^x$$

✅ Astuce :

1. Déterminer la solution de l’équation homogène : $y' + 2y = 0$.
2. Chercher une solution particulière de l’équation non homogène.
3. Additionner les deux solutions.

🎯 Solution :

1. Résolution de l'équation homogène : $$y_h = C e^{-2x}$$
2. Chercher une solution particulière sous la forme $y_p = A e^x$.
   On remplace dans l’équation : $$A e^x + 2A e^x = e^x$$ Ce qui donne $A = \frac{1}{3}$.
   Donc $y_p = \frac{1}{3} e^x$.
3. Solution générale : $$y = C e^{-2x} + \frac{1}{3} e^x$$

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🎓 Conseils pour maîtriser les équations différentielles :

💡 Toujours identifier le type d’équation : variables séparables, linéaire homogène, linéaire non homogène...
📝 Utiliser les conditions initiales pour trouver la constante $C$.
🎯 Vérifier sa solution en la dérivant et en la remplaçant dans l’équation.

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🔥 Résumé des résultats :

1. Exercice 1 : $y = 2 e^{x^2/2}$
2. Exercice 2 : $y = C e^{3x}$
3. Exercice 3 : $y = C e^{-2x} + \frac{1}{3} e^x$

Avec ces exercices, les équations différentielles n'auront plus de secrets pour toi ! 💪📖