Spé Maths - Produit Cartésien - Exercices Corrigés

📘 3 Exercices sur le Produit Cartésien en Terminale Spécialité Mathématiques 🎯

Le produit cartésien est une notion clé en mathématiques discrètes et combinatoire. Il est utile pour comprendre les relations binaires, les structures ensemblistes, et le dénombrement. Voici trois exercices de difficulté croissante pour les élèves de spécialité mathématiques en terminale, en lien avec le programme officiel.

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🔹 Exercice 1 (Facile) : Comprendre le Produit Cartésien

📌 Objectif : Identifier les éléments d’un produit cartésien

Soit les ensembles suivants :
$A = \{1,2,3\}$ et $B = \{a, b\}$.

1. Déterminer l’ensemble $A \times B$ en listant tous ses éléments.
2. Représenter cet ensemble sous forme d’un tableau à double entrée.

🧠 Astuce : Un élément du produit cartésien est toujours une paire ordonnée $(x, y)$ où $x$ provient du premier ensemble et $y$ du second. Pensez en lignes et colonnes pour bien visualiser l’ensemble obtenu.

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🔹 Exercice 2 (Moyen) : Décompte et application combinatoire

📌 Objectif : Appliquer le principe multiplicatif avec le produit cartésien

Un code secret est généré à partir de deux ensembles :

• Un ensemble $C$ contenant 5 chiffres : $C = \{0,1,2,3,4\}$.
• Un ensemble $D$ contenant 3 lettres : $D = \{X, Y, Z\}$.

1. Combien de codes différents peuvent être générés sous la forme $(c, d)$, avec $c \in C$ et $d \in D$ ?
2. Si l’on doit créer un mot de passe de longueur 3 avec une lettre suivie de deux chiffres, combien de mots de passe distincts peut-on obtenir ?

🧠 Astuce : Le produit cartésien repose sur le principe multiplicatif :
Si on a m choix pour la première position et n pour la seconde, alors le nombre total de possibilités est $m \times n$. Appliquez ce raisonnement étape par étape.

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🔹 Exercice 3 (Difficile) : Produit Cartésien et Relations Binaires

📌 Objectif : Définir et analyser une relation sur un produit cartésien

Soit $E = \{1,2,3,4\}$. On définit la relation $R$ sur $E \times E$ par :

$$(x,y) \in R \iff x + y \text{ est impair}.$$

1. Lister les éléments de $R$.
2. Représenter cette relation sous forme de graphe orienté.
3. La relation $R$ est-elle réflexive ? Symétrique ? Transitive ?

🧠 Astuce :

• Un graphe orienté peut aider à visualiser les relations. Reliez $x$ et $y$ si $(x, y) \in R$.
• Pour la réflexivité, vérifiez si chaque élément $(x, x)$ appartient à $R$.
• Pour la symétrie, vérifiez si $(x, y) \in R \Rightarrow (y, x) \in R$.
• Pour la transitivité, si $(x,y) \in R$ et $(y,z) \in R$, alors doit-on avoir $(x,z) \in R$ ?

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📌 Solutions des exercices

✅ Exercice 1

1. L’ensemble $A \times B$ est : $$A \times B = \{(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)\}$$
2. Tableau double entrée :

	a	b
1	(1,a)	(1,b)
2	(2,a)	(2,b)
3	(3,a)	(3,b)

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✅ Exercice 2

1. Nombre de codes possibles : $$|C \times D| = 5 \times 3 = 15$$
2. Nombre de mots de passe : $$|D| \times |C| \times |C| = 3 \times 5 \times 5 = 75$$

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✅ Exercice 3

1. Liste des paires $(x,y)$ telles que $x+y$ est impair :

   $$R = \{(1,2), (1,4), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3)\}$$

2. Graphe orienté :

   • Sommets : $1, 2, 3, 4$
   • Arcs dirigés selon les paires de $R$

3. Propriétés de la relation :

   • Réflexivité ? ❌ Non, car aucun couple $(x,x)$ n’appartient à $R$.
   • Symétrie ? ✅ Oui, car si $(x,y) \in R$, alors $(y,x) \in R$.
   • Transitivité ? ❌ Non, par exemple $(1,2) \in R$ et $(2,3) \in R$, mais $(1,3) \notin R$.

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🚀 Conseils généraux

🔹 Visualisation : Pour le produit cartésien, utilisez tableaux, graphes, arbres pour bien structurer vos idées.
🔹 Dénombrement : Pensez au principe multiplicatif dès qu’il s’agit de compter des éléments d’un produit cartésien.
🔹 Relations binaires : Faites des tests concrets sur quelques valeurs avant d’attaquer les propriétés abstraites.

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