Spé Maths - Déterminer la Limite d'une Suite par Comparaison

🧠 3 Exercices Faciles pour Déterminer les Limites d’une Suite par Comparaison en Terminale

📌 Introduction : Pourquoi la Méthode de Comparaison ?

Déterminer la limite d’une suite est une étape cruciale en analyse. Lorsque l’expression de la suite est complexe ou difficile à étudier directement, la méthode de comparaison est une solution efficace et élégante. Elle repose sur l’encadrement de la suite étudiée entre deux suites plus simples, dont les limites sont connues.

Aujourd’hui, on vous propose 3 exercices simples et progressifs pour vous entraîner sur cette technique. 🚀 À vos stylos !

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🏆 Exercice 1 : Une Suite Très Encadrée

On considère la suite définie par :

$$u_n = \frac{1}{n+1}$$

🔍 Objectif :

Déterminer la limite de $u_n$ en utilisant la comparaison avec une suite de référence.

💡 Astuces :

1. Cherchez des bornes inférieures et supérieures évidentes.
2. Utilisez la limite de 1/n que vous connaissez déjà !

✅ Solution :

On sait que pour tout entier naturel $n$ :

$$\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$$

On connaît la limite de $\frac{1}{n}$, qui est 0 quand $n$ tend vers $+\infty$.

Ainsi, par le théorème de comparaison, on conclut que :

$$\lim_{n \to +\infty} u_n = 0.$$

🔹 Conclusion : $u_n$ est une suite décroissante et positive qui tend vers 0 ! 🚀

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🏆 Exercice 2 : Une Suite avec une Racine Carrée

On définit la suite $v_n$ par :

$$v_n = \frac{\sqrt{n}}{n+2}$$

🔍 Objectif :

Trouver la limite de $v_n$ en comparant avec une suite plus simple.

💡 Astuces :

1. Identifiez les termes dominants au numérateur et au dénominateur.
2. Factorisez le terme de plus haut degré dans le dénominateur.

✅ Solution :

On a :

$$v_n = \frac{\sqrt{n}}{n+2} = \frac{\sqrt{n}}{n(1 + \frac{2}{n})}.$$

En simplifiant :

$$v_n = \frac{1}{\sqrt{n} (1 + \frac{2}{n})}.$$

Or, pour tout $n$, $\frac{1}{\sqrt{n}}$ tend vers 0. De plus, $1 + \frac{2}{n}$ tend vers 1.

Donc, par le théorème de comparaison, on obtient :

$$\lim_{n \to +\infty} v_n = 0.$$

🔹 Conclusion : La suite $v_n$ tend également vers 0. 🏆

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🏆 Exercice 3 : Une Suite avec un Logarithme

On définit la suite $w_n$ par :

$$w_n = \frac{\ln(n)}{n}$$

🔍 Objectif :

Trouver la limite de $w_n$ en utilisant une comparaison avec une suite connue.

💡 Astuces :

1. On sait que $\ln(n)$ croît plus lentement que toute puissance de $n$.
2. Comparez avec $\frac{n^a}{n}$ pour un petit $a > 0$.

✅ Solution :

On sait que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un entier $N$ tel que :

$$\ln(n) < n^\varepsilon \quad \text{pour tout } n \geq N.$$

Donc :

$$\frac{\ln(n)}{n} < \frac{n^\varepsilon}{n} = n^{\varepsilon -1}.$$

Or, pour tout $\varepsilon \in ]0,1[$, on a $n^{\varepsilon -1} \to 0$ quand $n \to +\infty$.

Par le théorème de comparaison, on conclut que :

$$\lim_{n \to +\infty} w_n = 0.$$

🔹 Conclusion : La suite $w_n$ tend vers 0, une propriété essentielle en analyse. 📊

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🎯 Récapitulatif des Résultats 📊

Suite	Limite
$u_n = \frac{1}{n+1}$	0
$v_n = \frac{\sqrt{n}}{n+2}$	0
$w_n = \frac{\ln(n)}{n}$	0

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📌 Conseils pour Maîtriser la Méthode de Comparaison

✅ Cherchez toujours une suite de référence : $\frac{1}{n}$, $\frac{1}{n^a}$, $\frac{\ln(n)}{n}$, etc.

✅ Pensez à encadrer la suite entre deux bornes proches.

✅ Soyez attentifs aux termes dominants du numérateur et du dénominateur.

✅ Utilisez la factorisation pour simplifier vos expressions.

✅ Apprenez par cœur certaines limites usuelles, notamment celles des suites de référence.

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🚀 Conclusion : Une Méthode Puissante et Pratique

La comparaison est une technique clé pour déterminer les limites de suites complexes. Elle évite souvent des calculs fastidieux et permet d’obtenir un résultat rapidement. Alors, entraînez-vous et osez comparer ! 🎯📘

🔹 Votre avis ? Trouvez-vous cette méthode simple et efficace ? Laissez un commentaire et partagez vos astuces ! 📝👇

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