Déterminer La Forme Algébrique d'un Nombre Complexe

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🧠 Déterminer la Forme Algébrique d’un Nombre Complexe : 3 Exercices Progressifs

Maîtriser la forme algébrique d’un nombre complexe est essentiel en Terminale pour aborder les transformations géométriques et la résolution d’équations complexes. Voici trois exercices classés par niveau de difficulté, accompagnés d’astuces pour vous guider pas à pas ! 🚀

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🔹 Exercice 1 : Niveau Facile

📝 Énoncé :
Écrire sous la forme algébrique $z = a + ib$ les nombres complexes suivants :

1. $z_1 = 3 - 4i$
2. $z_2 = -5 + 2i$
3. $z_3 = 7i$

💡 Astuces :

• La partie réelle est le nombre sans $i$.
• La partie imaginaire est le coefficient devant $i$.
• Si $i$ est seul, cela signifie que la partie réelle est 0.

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🔸 Exercice 2 : Niveau Moyen

📝 Énoncé :
Écrire sous la forme algébrique les nombres complexes donnés sous forme exponentielle :

1. $z_4 = 4e^{i\frac{\pi}{3}}$
2. $z_5 = 5e^{-i\frac{\pi}{4}}$

💡 Astuces :

• Utilisez la formule d’Euler : $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$
• Trouvez les valeurs exactes de $\cos \theta$ et $\sin \theta$ à l’aide du cercle trigonométrique.
• Multipliez le tout par le module pour obtenir la forme $a + ib$.

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🔺 Exercice 3 : Niveau Difficile

📝 Énoncé :
Soit $z_6 = \frac{1 + i}{1 - i}$.
Déterminer sa forme algébrique.

💡 Astuces :

• Multipliez en haut et en bas par le conjugué du dénominateur $1 + i$.
• Rappelez-vous que : $$(1 - i)(1 + i) = 1 - i^2 = 1 + 1 = 2$$
• Simplifiez l’expression pour obtenir $z_6 = a + ib$.

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✅ Correction

1. Exercice 1 :

   • $z_1 = 3 - 4i$
   • $z_2 = -5 + 2i$
   • $z_3 = 0 + 7i$

2. Exercice 2 :

   • $z_4 = 2 + 2i\sqrt{3}$
   • $z_5 = \frac{5\sqrt{2}}{2} - i\frac{5\sqrt{2}}{2}$

3. Exercice 3 :

   • $z_6 = i$ (car $\frac{2i}{2} = i$)