Comment étudier une fonction contenant des logarithmes ?

📘 Étudier une fonction contenant des logarithmes : 3 exercices de niveaux progressifs

Les fonctions logarithmiques sont essentielles en mathématiques et en sciences, notamment pour modéliser des phénomènes de croissance et de décroissance. Voici trois exercices classés par difficulté pour vous entraîner à l'étude de fonctions logarithmiques. 🧠✨

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🔹 Exercice 1 (Facile) : Étude d'une fonction de base

On considère la fonction $f(x) = \ln(x) - x$, définie sur $]0;+\infty[$.

1. Déterminer le domaine de définition de $f(x)$.
2. Calculer la dérivée $f'(x)$.
3. Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f(x)$.

💡 Astuce :

• Rappelez-vous que la dérivée de $\ln(x)$ est $\frac{1}{x}$.
• Trouver le signe de $f'(x)$ vous aidera à repérer les extremums.

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🔹 Exercice 2 (Moyen) : Étude d'une fonction composée

On considère la fonction $g(x) = x \ln(x) - x$, définie sur $]0;+\infty[$.

1. Montrer que $g(x)$ admet une limite en $0^+$ et en $+\infty$.
2. Déterminer la dérivée $g'(x)$ et résoudre l'équation $g'(x) = 0$.
3. Étudier le signe de $g'(x)$ et dresser le tableau de variations de $g(x)$.

💡 Astuce :

• Pensez à utiliser la dérivée de $x \ln(x)$, qui est $\ln(x) + 1$.
• Pour la limite en $0^+$, utilisez l'approximation $x \ln(x) \approx 0$ lorsque $x$ est proche de 0.

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🔹 Exercice 3 (Difficile) : Application aux asymptotes et convexité

On considère la fonction $h(x) = x^2 \ln(x) - x^2$, définie sur $]0;+\infty[$.

1. Étudier la limite de $h(x)$ en $0^+$ et en $+\infty$.
2. Calculer $h'(x)$ et résoudre $h'(x) = 0$.
3. Étudier la convexité de $h(x)$ en calculant $h''(x)$ et déterminer ses points d'inflexion.
4. Vérifier si $h(x)$ admet une asymptote en $+\infty$.

💡 Astuce :

• Utilisez la dérivée de $x^2 \ln(x)$ : $h'(x) = 2x \ln(x) - x$.
• La convexité se détermine grâce à $h''(x) = 2\ln(x) + 3$, et il faut trouver les valeurs où $h''(x) = 0$.

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📌 Résultats et corrections

Exercice 1 :

• Domaine de définition : $]0;+\infty[$.
• $f'(x) = \frac{1}{x} - 1$.
• $f'(x) = 0$ pour $x = 1$, donc minimum local en $x=1$.
• $f(x)$ est décroissante sur $]0,1]$ et croissante sur $[1,+\infty[$.

Exercice 2 :

• $\lim\limits_{x \to 0^+} g(x) = 0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$.
• $g'(x) = \ln(x)$.
• $g'(x) = 0$ pour $x = e^{-1}$.
• Fonction décroissante sur $]0,e^{-1}]$ et croissante sur $[e^{-1},+\infty[$.

Exercice 3 :

• $\lim\limits_{x \to 0^+} h(x) = 0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} h(x) = +\infty$.
• $h'(x) = 2x\ln(x) - x$, nul pour $x = e^{-1}$.
• $h''(x) = 2\ln(x) + 3$, change de signe pour $x = e^{-3/2}$, point d'inflexion.

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📢 Conseils généraux :

✔ Toujours identifier le domaine de définition avant de commencer !
✔ Pensez aux dérivées pour étudier le sens de variation.
✔ En cas de doute sur une limite, utilisez l'approximation logarithmique $x \ln(x) \approx 0$ pour $x \to 0^+$.
✔ Pour les asymptotes, regardez les limites en $+\infty$.

🔥 Entraînez-vous bien et n’hésitez pas à poser vos questions en commentaire ! 🔥